Задача 115886

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Протасов В.Ю.

Дан треугольник ABC. Из вершин B и C опущены перпендикуляры BM и CN на биссектрисы углов C и B соответственно.
Докажите, что прямая MN пересекает стороны AC и AB в точках их касания с вписанной окружностью.

Решение

Пусть I – центр вписанной окружности треугольника ABC, P – точка пересечения MN и AC (см. рис.). Так как точки M и N лежат на окружности с диаметром BC, то  ∠MNB = ∠MCB = ∠ACI.  Следовательно, точки C, I, P, N лежат на одной окружности и  ∠CPI = ∠CNI = 90°.  Значит, P – точка касания AC с вписанной окружностью. Для стороны AB доказательство аналогично.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2009
Тур
задача
Номер	7