Задача 115899

Темы:    [ Описанные четырехугольники ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Богданов И.И.

Четырёхугольник ABCD описан около окружности, лучи BA и CD пересекаются в точке E, лучи BC и AD – в точке F. Вписанная окружность треугольника, образованного прямыми AB, CD и биссектрисой угла B, касается прямой AB в точке K, а вписанная окружность треугольника, образованного прямыми AD, BC и биссектрисой угла B, касается прямой BC в точке L. Докажите, что прямые KL, AC и EF пересекаются в одной точке.

Решение

  Обозначим точки касания вписанной в четырёхугольник ABCD окружности со сторонами AB и BC через U и V. Имеем равенство двойных отношений:  
  Отсюда следует, что прямые KL, EF, UV пересекаются в одной точке. Аналогично доказывается, что AC, EF, UV пересекаются в одной точке (см. рис.).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2009
Класс
Класс	9
задача
Номер	9.3