Задача 115900

Темы:    [ Правильные многоугольники ] [ Средняя линия треугольника ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Проективная геометрия (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Белухов Н.

Дан правильный 17-угольник A₁... A₁₇. Докажите, что треугольники, образованные прямыми A₁A₄, A₂A₁₀, A₁₃A₁₄ и A₂A₃, A₄A₆, A₁₄A₁₅, равны.

Решение

  Заметим, что  A₁A₄ || A₂A₃,  A₂A₁₀ || A₁₄A₁₅,  A₁₃A₁₄ || A₄A₆.  Поэтому надо доказать, что данные треугольники центрально симметричны.
  Пусть A, B, C, D, E, F – середины хорд A₁A₂, A₃A₄, A₄A₁₃, A₆A₁₄, A₁₀A₁₄, A₁₅A₂ соответственно. Прямые BC, DE, FA как средние линии треугольников A₃A₄A₁₃, A₆A₁₀A₁₄, A₁A₂A₁₅ параллельны прямым  A₃A₁₃ || A₆A₁₀ || A₁A₁₅.  Прямые AD, BE, CF как оси симметрии равнобедренных трапеций A₁A₂A₆A₁₄, A₃A₄A₁₀A₁₄, A₂A₄A₁₃A₁₅ пересекаются в центре семнадцатиугольника. По двойственной теореме Паппа (см. книгу Б.А. Розенфельда «Многомерные пространства», с. 365) прямые AB, CD, EF пересекаются в некоторой точке P (см. рис.). Но эти прямые являются средними линиями трёх полос, образованных парами параллельных сторон данных треугольников. Следовательно, эти треугольники симметричны относительно P.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2009
Класс
Класс	9
задача
Номер	9.4