Задача 115902

Темы:    [ Две пары подобных треугольников ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Длины сторон, высот, медиан и биссектрис ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Акопян А.В.

В треугольнике ABC  AB – BC = .  Пусть M – середина стороны AC, а BN – биссектриса.  Докажите, что  ∠BMC + ∠BNC = 90°.

Решение

Пусть C' – точка, симметричная C относительно BN. Тогда  AC' = AB – BC,  и по условию  AM : AC' = AC' : AC.  Значит, треугольники AC'M и ACC' подобны, и  ∠AC'M = ∠C'CA = 90° – ∠BNC  (см. рис.).  Применяя формулу для длины медианы (см. задачу 57592 а), получаем, что  BM² = AB·BC,  то есть  BC' : BM = BM : BA.  Поэтому треугольники BC'M и BMA также подобны, и  ∠BMC' = ∠BAM.  Следовательно,
∠BMC = 180° – ∠BAM – ∠C'MA = ∠AC'M = 90° – ∠BNC.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2009
Класс
Класс	9
задача
Номер	9.6