Задача 115905

Темы:    [ Теорема Карно ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Дан треугольник ABC. Из точек A₁, B₁ и C₁, лежащих на прямых BC, AC и AB соответственно, восставлены перпендикуляры к этим прямым.
Докажите, что эти перпендикуляры пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда  C₁A² – C₁B² + A₁B² – A₁C² + B₁C² – B₁A² = 0.

Решение

  Необходимость. Пусть указанные перпендикуляры пересекаются в точке M. По теореме Пифагора  MA² – C₁A² = MB² – C₁B²,  MB² – A₁B² = MC² – A₁C²,
MC² – B₁C² = MA² – B₁A².
  Сложив почленно эти равенства, получим, что  C₁A² – C₁B² + A₁B² – A₁C² + B₁C² – B₁A² = 0.

  Достаточность. Пусть данное равенство выполнено, M – точка пересечения перпендикуляров к BC и AC. Тогда   MB² – MC² = A₁B² – A₁C²,
MA² – MC² = B₁A² – B₁C².
  Вычитая почленно эти равенства, получим, что  MB²– MA² = A₁B² – A₁C² + B₁C² – B₁A² = C₁B² – C₁A²,  а это и означает, что точка M лежит на перпендикуляре, восставленном к AB в точке C₁.

Замечания

Теорема верна и в случае, когда точки A₁, B₁ и C₁ не лежат на прямых, содержащих стороны треугольника ABC, см. задачу 57169.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2276