ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 115906
Темы:    [ Теорема Карно ]
[ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Вневписанные окружности ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Вневписанные окружности треугольника ABC касаются сторон BC, AC и AB в точках A1, B1 и C1 соответственно.
Докажите, что перпендикуляры, восставленные к этим сторонам в точках соответственно A1, B1 и C1, пересекаются в одной точке.


Решение

Обозначим  BC = a, AC = b, AB = cp – полупериметр треугольника ABC, а вневписанная окружность треугольника ABC, касающаяся стороны BC, касается продолжения стороны AB в точке M. Тогда  BA1 = AB1 = p – cCA1 = AC1 = p – bCB1 = BC1 = p – a  (см. задачу 55404), поэтому
A1B² – A1C² + B1C² – B1A² + C1A² – C1B² = (p – c)² – (p – b)² + (p – a)² – (p – c)² + (p – b)²– (p – a² = 0.  Осталось применить теорему Карно (см. задачу 115905).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 2277

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .