Задача 115908

Темы:    [ Теорема Карно ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Дан правильный треугольник ABC и произвольная точка D. Точки A₁, B₁ и C₁ – центры окружностей, вписанных в треугольники BCD, CAD и ABD соответственно. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из вершин A, B и C на прямые соответственно B₁C₁, A₁C₁ и A₁B₁, пересекаются в одной точке.

Решение

  Пусть вписанные окружности треугольников BCD, CAD и ABD касаются сторон BC, AC и AB в точках A₂, B₂ и C₂ соответственно. Тогда прямые, проходящие через точки A₂, B₂ и C₂ перпендикулярно прямым соответственно BC, AC и AB, совпадают с прямыми A₁A₂, B₁B₂ и C₁C₂.
  Обозначим  AB = BC = AC = a,  AD = x,  BD = y,  CD = z .  Тогда  C₂A = ½ (a + x – y),  C₂B = ½ (a + y – x),  A₂B = ½ (a + y – z),  A₂C = ½ (a + z – y),
B₂C = ½ (a + z – x),  B₂A = ½ (a + x – z)  (см. задачу 55404), поэтому
C₂A² – C₂B² + A₂B² – A₂C² + B₂C² – B₂A² =
      = ¼ (a + x – y)² – ¼ (a + z – y)² + ¼ (a + z – x)² – ¼ (a + z – y)² + ¼ (a + z – x)² – ¼ (a + x – z)² = ¼ ((2x – 2y)2a + (2y – 2z)2a + (2z – 2x)2a) = 0.
По теореме Карно (см. задачу 115905) прямые, проходящие через точки A₁, B₁ и C₁ перпендикулярно прямым соответственно BC, AC и AB, пересекаются в одной точке. Следовательно, согласно задаче 115907 перпендикуляры, опущенные из вершин A, B и C на прямые соответственно B₁C₁, A₁C₁ и A₁B₁, также пересекаются в одной точке.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2279