ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 115955
Темы:    [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Диаметр, основные свойства ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
[ Угол между касательной и хордой ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Вокруг равнобедренного треугольника ABC с основанием AC описана окружность ω. Точка F – ортоцентр треугольника ABC; продолжение высоты CE пересекает ω в точке G. Докажите, что высота AD является касательной к описанной окружности треугольника GBF.


Решение

Пусть H – точка пересечения AB и окружности ω1, описанной вокруг треугольника GBF. Поскольку точка, симметричная ортоцентру треугольника относительно его стороны, принадлежит описанной окружности этого треугольника (см. задачу 55463), то G симметрична F относительно AB. Таким образом, BH – диаметр ω1 и  ∠BFH = 90°.  Значит,  HF || AC,  откуда  ∠FBH = ∠ABF = ∠ACF = ∠CAF = ∠AFH . Следовательно, AD – касательная к ω1.

Источники и прецеденты использования

задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .