Задача 115992
|
|
 |
Условие
Найдите наименьшее значение x² + y², если x2 – y² + 6x + 4y + 5 = 0.
Решение
x² – y² + 6x + 4y + 5 = (x + 3)² – (y – 2)² = (x + y + 1)(x – y + 5) = 0.
Таким образом, график полученного уравнения состоит из двух прямых y = – x – 1 и y = x + 5, которые пересекают ось ординат в точках
(0, –1) и (0, 5) (см. рис.). x² + y² – квадрат расстояния от точки M(x, y) до начала координат, поэтому, его значение будет наименьшим, когда M – основание перпендикуляра, опущенного из точки О(0, 0) на ближайшую к этой точке прямую. Учитывая, что обе прямые отсекают от осей координат равнобедренные прямоугольные треугольники с катетами 1 и 5, получим, что ближе к точке О находится прямая y = – x – 1, тогда OM = 0,5.
Ответ
0,5.
