ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116054
Тема:    [ Разрезания на параллелограммы ]
Сложность: 2+
Классы: 6,7
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Ниже приведён фрагмент мозаики, которая состоит из ромбиков двух видов: "широких" и "узких" (см. рис.).

Нарисуйте, как по линиям мозаики вырезать фигуру, состоящую ровно из 3 "широких" и 8 "узких" ромбиков. (Фигура не должна распадаться на части.)


Решение

Некоторые решения приведены на рис.

Замечания

1. Объясним, как можно было найти эти решения. Нам надо включить в нашу фигуру намного больше узких ромбов, чем широких, а широких ромбиков на картинке явно больше (см. замечание 3). Нетрудно убедиться, что каждый узкий ромб граничит не более чем с одним другим узким ромбом, а каждый широкий – не более чем с двумя узкими. Для того чтобы соединить восемь узких ромбов (четыре пары) в один многоугольник, нам как раз придётся включить не меньше трёх широких. Теперь мы можем заштриховать в некоторой области мозаики все пары граничащих узких ромбов, начать с какой-нибудь пары и попытаться три раза добавить какой-нибудь широкий ромб, соединяющий выбранный кусок с ещё одной парой узких ромбов.

2. Нарисуем на ромбах дуги, как на рисунке справа.

Мозаикой Пенроуза называется замощение плоскости такими ромбами, при котором каждая дуга, приходящая на границу ромба, продолжается на соседнем ромбе (см. рис. ниже). О фрагменте такой мозаики и идёт речь в задаче.

3. Если взять большой лист бумаги, нарисовать на нём фрагмент мозаики Пенроуза и посчитать все нарисованные ромбы, то широких ромбов будет примерно в 1,6 раз больше. (На самом деле это отношение будет примерно равняться золотому сечению – тем ближе к нему, чем больше лист бумаги.)

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Математический праздник
год
Год 2011
Класс
Класс 7
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .