|
|
 |
Условие
Числа от 1 до 16 расставлены в таблице 4×4. В каждой строке, в каждом столбце и на каждой диагонали (включая диагонали из одной клетки) отметили самое большое из стоящих в ней чисел (одно число может быть отмечено несколько раз).
Могли ли оказаться отмечены
а) все числа, кроме, быть может, двух?
б) все числа, кроме, быть может, одного?
в) все числа?
Решение
Числа в углах будут отмечены в любом случае – это числа, стоящие на диагоналях длины 1. Среди остальных чисел есть хотя бы одно неотмеченное. Действительно, рассмотрим наименьшее из чисел, не стоящих в углах. Оно не отмечено, так как на каждой линии вместе с ним есть и другие "неугловые"
числа. Значит, все числа отмечены быть не могут.
На рисунке приведён пример таблицы, в которой будут отмечены все числа, кроме одного.
Ответ
а), б) Могли; в) не могли.
Замечания
Искать этот пример можно было, например, следующим образом. Будем расставлять числа по одному в порядке возрастания.
Чтобы число 1 было отмечено, необходимо поставить его на диагональ
длины 1, то есть в угол. Аналогично числа 2, 3 и 4 придётся (если мы хотим,
чтобы они были отмечены) поставить в углы (рис. а).
Теперь куда бы мы ни поставили число 5, отмечено оно не будет
(сравните с доказательством того, что все числа отмечены быть не могут). Поставим его, например, в клетку B1 (рис. б).
Чтобы число 6 было отмечено, необходимо поставить его на одну линию
с числом 5 – например, в клетку C1. Далее число 7 нужно поставить на одну линию с числами 5 или 6 и т. д. – всего этого можно добиться, расставив числа от 5 до 12 по кругу в клетках на границе квадрата (рис. в).
Оставшиеся четыре самых больших числа можно расставить в центральном квадрате как угодно: каждое из них будет максимальным на диагонали длины 3, не содержащей других чисел из центрального квадрата (рис. г).
