ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116074
Темы:    [ Перегруппировка площадей ]
[ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]
[ Подобные треугольники (прочее) ]
[ Центральная симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты точки M и K соответственно так, что  SKMC + SKAC = SABC.
Докажите, что все такие прямые MK проходят через одну точку.


Решение

Заметим, что из равенства  SKMC + SKAC = SABC  следует, что  SKMC = SABK,  откуда  BK : CK = hM : hA,  где hA и hM – перпендикуляры, опущенные на прямую BC из точек A и соответственно (см. рис.). Кроме того, из подобия следует, что  BM : BA = hM : hA.  Пусть K' – точка, симметричная K относительно середины стороны BC. Тогда  BM : BA = BK : CK = BK : BK',  что означает параллельность прямых MK и AK'. Следовательно, эти прямые симметричны относительно середины стороны BC, то есть прямая MK проходит через точку A', симметричную A относительно середины стороны BC.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер 08 (2010 год)
Дата 2010-04-11
класс
Класс 10-11 класс
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .