ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116083
Темы:    [ Касательные прямые и касающиеся окружности (прочее) ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
Сложность: 5
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Фиксированы две окружности w1 и w2, одна их внешняя касательная l и одна их внутренняя касательная m. На прямой m выбирается точка X, а на прямой L строятся точки Y и Z так, что XY и XZ касаются w1 и w2 соответственно, а треугольник XYZ содержит окружности w1 и w2. Докажите, что центры окружностей, вписанных в треугольники XYZ, лежат на одной прямой.


Решение

Докажем, что точка S касания окружности, вписанной в треугольник XYZ со стороной YZ не зависит от выбора точки X. Так как точка D – фиксирована, то для этого достаточно доказать, что фиксирована длина отрезка DS. В решении будем несколько раз использовать известный факт:

Пусть окружность, вписанная в треугольник ABC, касается сторон BC, AC и AB в точках A1, B1 и C1 соответственно. Тогда AB1 = pBC, где p – полупериметр треугольника ABC.

Итак, DS = YSYD = (p XYZXZ) – (pXYLXL) = (pXYZpXYL) + (XLXZ) (см. рис.). Преобразуем разность полупериметров отдельно: pXYZp XYL = 1/2(XZ + ZLXL) = 1/2(pXZL – 2XL = pXZLXL.
Тогда (PXYZPXYL + (XLXZ) = pXZLXL + (XLXZ) = pXZLXZ = LK. Итак, DS = LK, причем точки L и K – фиксированы. То есть фиксирована точка S, а значит центры окружностей, вписанных в треугольник XYZ, лежат на прямой, проходящей через S и перпендикулярной YZ.

Верен следующий факт (автор – Игорь Федорович Шарыгин, из задач Соросовских олимпиад): точки S, L и центры данных окружностей лежат на одной окружности, из чего также следует решение данной задачи.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер 07 (2009 год)
Дата 2009-04-12
класс
Класс 8-9 класс
задача
Номер 6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .