Задача 116090

Темы:    [ Цепочки окружностей. Теорема Фейербаха ] [ Инверсия помогает решить задачу ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

Условие

Докажите, что окружность, проходящая через середины трёх сторон треугольника, касается его вписанной и трёх вневписанных окружностей (теорема Фейербаха).

Решение

Пусть A1 , B1 и C1 — середины сторон BC=a , AC=b и AB=c треугольника ABC , S — вписанная окружность треугольника ABC , касающаяся стороны BC в точке P , S_a — вневписанная окружность, касающаяся стороны BC в точке Q , p — полупериметр треугольника ABC . Если b=c , то утверждение очевидно. Рассмотрим случай, когда b c .
Тогда

CP = p-AB = p-c, A1P=|CP-CA1|= |p-c-|= .

При симметрии относительно биссектрисы угла BAC вершина B переходит в точку B' луча AC , вершина C — в точку C' луча AB , а окружности S и S_a переходят сами в себя. Значит, прямая B'C' — вторая общая внутренняя касательная окружностей S и S_a .
При этом, т.к. треугольник ACC' равнобедренный, биссектриса угла BAC пересекает его основание CC' в середине K , точки B1 , A1 и K лежат на одной прямой — средней линии треугольника ACC' , а
A1K = BC' =|AC'-AB| = |AC-AB|=|b-c|=A1P.
Аналогично, A1K=A1Q , поэтому A1Q=A1P .
Пусть биссектриса угла ABC пересекает сторону BC в точке F , а прямые A1B1 и A1C1 пересекают прямую B'C' в точках D и E соответственно. Треугольник A1FD подобен треугольнику BFC' с коэффициентом , а треугольник A1FK подобен треугольнику BFA с тем же коэффициентом, поэтому
==,
откуда находим, что
A1D· A1B1=A1K2=A1P2.
Аналогично, A1E· A1C1=A1P2 . Следовательно, при инверсии с центром A1 и радиусом A1P точки B1 и C1 перейдут в точки D и E , описанная окружность треугольника A1B1C1 , проходящая через центр инверсии, перейдёт в прямую DE , т.е. в прямую B'C' .
Осталось заметить, что при рассматриваемой инверсии окружности S и S_a , не проходящие через центр инверсии, переходят сами в себя. Действительно, если X' — образ точки X , лежащей на окружности S , то A1X'· A1X=A1P2 , значит, точка X' также лежит на окружности S . Аналогично для окружности S_a ( A1Q=A1P ).
Если ещё раз применить рассматриваемую инверсию, то прямая B'C' перейдёт в описанную окружность треугольника ABC , окружности S и S_a — сами в себя, а т.к. прямая B'C' — общая касательная к окружностям S и S_a , то её образ также касается окружностей S и S_a . Что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6117