Задача 116093

Темы:    [ Построение окружностей ] [ Свойства инверсии ] [ Инверсия помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

С помощью циркуля и линейки постройте окружность, касающуюся трёх данных попарно пересекающихся окружностей, проходящих через одну точку.

Решение

Пусть окружности S1 , S2 и S2 проходят через точку O и попарно пересекаются в точках A , B и C , отличных от O . Предположим, что построена окружность S , касающаяся каждой из этих окружностей.
Рассмотрим инверсию относительно произвольной окружности с центром O . При этой инверсии окружности S1 , S2 и S3 , проходящие через центр O инверсии, перейдут в попарно пересекающиеся прямые S1' , S2' и S3' , точки A , B и C — в точки A' , B' и C' попарного пересечения этих прямых, а окружность S , не проходящая через центр инверсии, — в окружность S' , касающуюся прямых A'B' , A'C' и B'C' .
Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим образы A' , B' и C' точек A , B и C при инверсии относительно произвольной окружности с центром O , затем строим окружности, касающиеся прямых A'B' , A'C' и B'C' , т.е. вписанную и три вневписанных окружности треугольника A'B'C' .
Если ещё раз применить рассматриваемую инверсию, то каждая из построенных окружностей перейдёт в окружность, касающуюся данных окружностей S1 , S2 и S3 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6120