Задача 116110

Темы:    [ Поворот помогает решить задачу ] [ Параллелограмм Вариньона ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Дан треугольник ABC . На его сторонах AB и BC построены внешним образом квадраты ABMN и BCPQ . Докажите, что центры этих квадратов и середины отрезков MQ и AC образуют квадрат.

Решение

Пусть O1 и O2 — центры квадратов ABMN и BCPQ , X и Y — середины отрезков MQ и AC соответственно. При повороте на угол 90^o вокруг точки B , переводящем точку M в точку A , точка C переходит в точку Q , а отрезок MC — в отрезок AQ . Следовательно, MC = AQ и MC AQ .
Точки O1 , X , O2 и Y — середины сторон четырёхугольника AMQC . Поэтому O1XO2Y — параллелограмм,

XO2 = O1Y = MC, O1X = YO2 = AQ,

XO2 || O1Y || MC, O1X || YO2|| AQ.
Следовательно, O1XO2Y — квадрат.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6704