ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116121
Темы:    [ Поворот помогает решить задачу ]
[ Поворот на $90^\circ$ ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

С помощью циркуля и линейки впишите квадрат в данный параллелограмм.

Решение

Пусть вершины K , L , M и N квадрата KLMN лежат на сторонах соответственно AB , BC , CD и AD параллелограмма ABCD (вершины перечислены по часовой стрелке). Известно, что в таком случае центры квадрата и параллелограмма совпадают. Пусть O — их общий центр. При повороте на угол 90o вокруг точки O квадрат KLMN переходит в себя. Вершина N , лежащая на стороне AD параллелограмма, переходит в вершину M , лежащую на стороне CD . При этом прямая AD переходит в перпендикулярную ей прямую, проходящую через точку M .
Отсюда вытекает следующий способ построения. Повернём на 90o прямую AD вокруг центра O параллелограмма. Получим прямую, перпендикулярную AD . Если эта прямая пересекает сторону CD в точке M , то M — вершина искомого квадрата. Тогда прямая MO пересекает сторону AB в противоположной вершине K искомого квадрата. Прямая, проходящая через точку O перпендикулярно KM , пересекает стороны противоположные стороны AD и BC данного параллелограмма в вершинах N и L искомого квадрата. Если образ прямой AD при рассматриваемом повороте не пересекает отрезок CD , то задача не имеет решений.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6715

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .