Задача 116148

Темы:    [ Формулы сокращенного умножения (прочее) ] [ Признаки делимости на 3 и 9 ]

Сложность: 3- Классы: 7,8,9

Условие

Существуют ли такие целые числа x, y и z, для которых выполняется равенство:  (x – y)³ + (y – z)³ + (z – x)³ = 2011?

Решение

Раскрыв скобки и приведя подобные, получим:  – 3x²y + 3xy² – 3y²z + 3zy² + 3z²x – 3zx² = 2011.  Левая часть кратна 3, а правая – нет. Противоречие.

Ответ

Не существуют.

Замечания

Согласно задаче 76461 левая часть равна  3(x – y)(y – z)(z – x).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2010/11
Класс
	1
Класс	7
задача
Номер	7.3.1