ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116154
Темы:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
[ Признаки равенства прямоугольных треугольников ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Поворот помогает решить задачу ]
Сложность: 2
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Биссектриса угла B и биссектриса внешнего угла D прямоугольника ABCD пересекают сторону AD и прямую AB в точках M и K соответственно.
Докажите, что отрезок MK равен и перпендикулярен диагонали прямоугольника.


Решение

Заметим, что  ∠ABM = ∠AMB = ∠ADK = ∠AKD = 45°  (см. рис.). Значит,  AB = AM,  AD = AK.  Далее можно рассуждать по-разному.

  Первый способ. Прямоугольные треугольники BAD и MAK равны по двум катетам, поэтому  BD = MK.  Из равенства  ∠ABM = ∠AKD = 45°  получим, что  BMDK.  Поскольку высоты треугольника пересекаются в одной точке, то KM — высота треугольника ABD.

  Bторой способ. При повороте вокруг точки A на 90° треугольник AMK переходит в треугольник ABD, следовательно,  BD = MK  и  BDMK.

Замечания

В этой задаче возникает следующая известная геометрическая конструкция. Если в четырёхугольнике ABCD углы A, C и D равны по 45°, то его диагонали AC и BD равны и перпендикулярны (см. рис.).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер 09 (2011 год)
Дата 2011-04-10
класс
Класс 8-9 класс
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .