ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116160
Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Угол между касательной и хордой ]
[ Свойства симметрии и центра симметрии ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

AD и BE — высоты треугольника ABC. Оказалось, что точка C', симметричная вершине C относительно середины отрезка DE, лежит на стороне AB. Докажите, что AB – касательная к окружности, описанной около треугольника DEC'.


Решение 1

Четырёхугольник ABDE – вписанный, поэтому  ∠CDE = ∠CAB.  Так как  C'D || CE,  то  ∠CAB = ∠DC'B,  а так как  C'E || CD,  то  ∠CDE = ∠C'ED.  Значит,  ∠C'ED = ∠DC'B,  откуда и следует утверждение задачи.


Решение 2

Пусть H – ортоцентр треугольника ABC, тогда точки D и E лежат на окружности с диаметром CH.

Kасательная к этой окружности в точке C перпендикулярна CH, то есть параллельна AB. Треугольники DEC' и ECD симметричны относительно середины DE, значит, симметричны и их описанные окружности, а также касательные, проведенные к этим окружностям в симметричных точках C' и C. Так как центрально-симметричные прямые параллельны, то касательная в точке C' к описанной окружности треугольника DEC' совпадает с прямой AB.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер 09 (2011 год)
Дата 2011-04-10
класс
Класс 10-11 класс
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .