ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116163
Тема:    [ Неравенства для площади треугольника ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что любой жесткий плоский треугольник T площади меньше 4 можно просунуть сквозь треугольную дырку Q площади 3.


Решение

  Достаточно доказать, что в треугольнике T найдётся высота h, меньшая наибольшей стороны треугольника Q.
  Пусть  a ≤ b ≤ c  – стороны треугольника Q. Так как его площадь равна 3, а наименьший угол A не превосходит 60°, то
  Отсюда     Аналогично получим, что наибольшая сторона треугольника T не меньше     Значит, высота h, опущенная на эту сторону, не больше     что и требовалось.

Замечания

Фактически доказано следующее:
  1) у треугольника данной площади найдётся сторона, не меньшая стороны равновеликого ему равностороннего треугольника;
  2) у треугольника данной площади найдётся высота, не большая высоты равновеликого ему равностороннего треугольника.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер 09 (2011 год)
Дата 2011-04-10
класс
Класс 10-11 класс
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .