ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116164
Темы:    [ Четырехугольники (прочее) ]
[ Свойства биссектрис, конкуррентность ]
[ Углы между биссектрисами ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]
[ Тождественные преобразования (тригонометрия) ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Фольклор

B выпуклом четырёхугольнике ABCD:  ACBD,  ∠BCA = 10°,  ∠BDA = 20°,  ∠BAC = 40°.  Найдите ∠BDC.


Решение 1

  Пусть K и M – точки пересечения прямой CB с прямой AD и описанной окружностью треугольника ACD соответственно (см. рис.). Тогда
MDA = ∠MCA = 10°,  то есть DM – биссектриса угла KDB. Также заметим, что  ∠ABD = 50°,  ∠CBD = 80°,  значит  ∠KBA = 50°,  то есть BA – биссектриса угла KBD.
  Итак, I – точка пересечения биссектрис BA и DM – центр вписанной окружности треугольника KBD.  ∠BID = 120°,– поэтому  ∠BKD = 60°.  Значит, четырёхугольник KAIM – вписанный, причём KI – биссектриса угла AKM. Cледовательно,  ∠ACD = ∠AMD = ∠AMI = ∠AKI = 30°,  откуда  ∠BDC = 60°.


Решение 2

  Пусть P – точка пересечения AC и BD. Заметим, что     (см. задачу 61203). Cледовательно,  ∠BDC = ∠CPD = 60°.


Ответ

60°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер 09 (2011 год)
Дата 2011-04-10
класс
Класс 10-11 класс
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .