ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116168
Темы:    [ Параллелограммы (прочее) ]
[ Метод ГМТ ]
[ ГМТ - прямая или отрезок ]
[ ГМТ - окружность или дуга окружности ]
[ Признаки равенства прямоугольных треугольников ]
[ Средняя линия трапеции ]
[ Четырехугольники (построения) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Фольклор

Постройте параллелограмм ABCD, если на плоскости отмечены три точки: середины его высот BH и BP и середина стороны AD.


Решение

  Предположим, что искомый параллелограмм ABCD построен. Пусть K и L – середины его высот BH и BP соответственно, а M – середина стороны AD (см. рис.). Проведём отрезок ML. Поскольку  AM = MD  и  BL = LP,  то ML – средняя линия трапеции ABPD, поэтому  ML || CD  и  MLBP.  Cледовательно, вершина B параллелограмма принадлежит прямой l, перпендикулярной отрезку ML. Проведем прямую KM и отложим отрезкок KN, равный отрезку KM. Tак как треугольники KBN и KHM равны (по первому признаку), то  ∠NBK = 90°,  то есть вершина B принадлежит окружности γ, построенной на отрезке NK как на диаметре. Tаким образом, вершина B является точкой пересечения прямой l и окружности γ. Дальнейшее построение очевидно.
  Задача может иметь два решения, одно решение или ни одного. Это зависит от количества точек пересечения прямой l и окружности γ.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер 05 (2007 год)
Дата 2007-04-1
класс
Класс 8-9 класс
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .