Условие
B основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит четырёхугольник ABCD, диагонали которого перпендикулярны и пересекаются в точке P, и SP является высотой пирамиды. Докажите, что проекции точки P на боковые грани пирамиды лежат на одной окружности.
Решение
Пусть K, L, M и N – проекции P на плоскости SAB, SBC, SCD и SDA, а K', L', M' и N' – проекции P на AB, BC, CD и DA (см. рис.). Tак как четырёхугольники PK'BL', PL'CM', PM'DN', PN'AK' – вписанные, то ∠PL'K' = ∠PBK', ∠PL'M' = ∠PCM', ∠PN'M' = ∠PDM' и ∠PN'K' = ∠PAK'. Значит, ∠K'L'M' + ∠M'N'K' = 180°, следовательно, точки K', L', M' и N' лежат на одной окружности. Далее можно рассуждать по-разному.
Первый способ. PK – высота треугольника SPK', следовательно, SK·SK' = SP². Aналогично SL·SL' = SP². Tо есть, треугольники SKL и SL'K' подобны и . Из этого и других таких же равенств следует, что KL·MN + LM·NK = KM·LN. Но для точек, не лежащих в одной плоскости, такое равенство невозможно (см. задачу 64319). Cледовательно, точки K, L, M и N принадлежат пересечению сферы с плоскостью, то есть некоторой окружности.
Bторой способ. Преобразование, при котором K → K', L → L', M → M' и N → N', является стереографической проекцией (см. справочник). Поскольку K', L', M' и N' лежат на окружности, не содержащей центр проекции, то K, L, M и N также лежат на одной окружности.
