Задача 116189

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Подобные треугольники (прочее) ] [ Вневписанные окружности ] [ Точка Нагеля. Прямая Нагеля ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Автор: Заславский А.А.

Пусть A₁, B₁, C₁ – середины сторон треугольника ABC, I – центр вписанной в него окружности, C₂ – точка пересечения прямых C₁I и A₁B₁, C₃ – точка пересечения прямых CC₂ и AB. Докажите, что прямая IC₃ перпендикулярна прямой AB.

Решение 1

  Утверждение задачи означает, что C₃ – точка касания стороны AB с окружностью, вписанной в ABC (рис. слева). Так как треугольники ABC и A₁B₁C гомотетичны, то утверждение задачи равносильно тому, что C₂ – точка касания A₁B₁ и окружности, вписанной в треугольник A₁B₁C, то есть     где a, b, c – стороны треугольника ABC, а p – его полупериметр.

           

  Так как треугольник A₁B₁C₁ подобен треугольнику ABC с коэффициентом ½, то высота B₁H треугольника A₁B₁C₁ (а, следовательно, и расстояние между прямыми A₁C₁ и AC) в два раза меньше высоты h_b треугольника ABC (рис. справа). Cледовательно, расстояние от точки I до прямой A₁C₁ равно
½ h_b – r.  Аналогично расстояние от точки I до прямой B₁C₁ равно  ½ h_a – r.
  Cледовательно,  

Решение 2

  Пусть T и T' – точки касания вписанной ω и вневписанной ω' окружностей со стороной AB, K – точка вписанной окружности, диаметрально противоположная T (см. рис.). При гомотетии с центром C, переводящей ω в ω', K переходит в T', поэтому C, K и T' лежат на одной прямой.

  Как известно,  AT' = BT  (см. задачу 55404). Поэтому C₁T = C₁T'  и в треугольнике KT'T отрезок C₁I является средней линией. Обозначим через M точку пересечения прямой C₁I с высотой треугольника ABC, опущенной из точки C. Тогда CKIM – параллелограмм, поэтому  CM = KI = IT.  Значит, I и M равноудалены от средней линии A₁B₁, то есть C₂ является серединой отрезка IM.
  Cледовательно, точки C и T симметричны относительно C₂, то есть C, C₂ и T лежат на одной прямой, поэтому точка T совпадает с точкой C₃, что и требовалось.

Замечания

Заметим, что C₂ – точка касания A₁B₁ с вневписанной окружностью треугольника A₁B₁C₁, касающейся стороны A₁B₁. Для произвольного треугольника существуют три вневписанных окружности, причём отрезки, соединяющие точки их касания с соответствующими сторонами и противоположные вершины, пересекаются в одной точке N, которая называется точкой Нагеля. Можно показать, что точка Нагеля, центр вписанной окружности I и центр тяжести M лежат на одной прямой, причём  MN = 2IM  (см. рис.). Утверждение задачи является следствием этого факта.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер	03 (2005 год)
Дата	2005-04-3
класс
Класс	8-9 класс
задача
Номер	6