Задача 116214

Тема:    [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Федоров Р.М.

Что больше:  2011²⁰¹¹ + 2009²⁰⁰⁹  или  2011²⁰⁰⁹ + 2009²⁰¹¹?

Решение

  Преобразуем разность левой и правой частей:

2011²⁰¹¹ + 2009²⁰⁰⁹ – (2011²⁰⁰⁹ + 2009²⁰¹¹) = 2011²⁰¹¹ – 2011²⁰⁰⁹ – (2009²⁰¹¹ – 2009²⁰⁰⁹) = 2011²⁰⁰⁹(2011² – 1) – 2009²⁰⁰⁹(2009² – 1).

  Заметим, что  2011²⁰⁰⁹ > 2009²⁰⁰⁹ > 0  и  2011² – 1 > 2009² – 1 > 0.  Следовательно, уменьшаемое больше вычитаемого, то есть разность положительна.

Ответ

2011²⁰¹¹ + 2009²⁰⁰⁹ > 2011²⁰⁰⁹ + 2009²⁰¹¹.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Год	2011
Номер	74
класс
Класс	9
задача
Номер	1