ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116223
Темы:    [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Неравенство треугольника (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

У Винтика и у Шпунтика есть по три палочки суммарной длины 1 метр у каждого. И Винтик, и Шпунтик могут сложить из трёх своих палочек треугольник. Ночью в их дом прокрался Незнайка, взял по одной палочке у Винтика и у Шпунтика и поменял их местами. Наутро оказалось, что Винтик не может сложить из своих палочек треугольник. Можно ли гарантировать, что Шпунтик из своих — сможет?


Решение

Обозначим через x1x2x3 длины палочек, которые наутро оказались у Винтика, а через y1y2y3 — длины палочек, которые оказались у Шпунтика. Винтик не может сложить из своих палочек треугольник, значит, x1x2 + x3. Предположим, что и Шпунтик не может сложить треугольник: y1y2 + y3. Тогда x1 + y1x2 + x3 + y2 + y3. Поскольку сумма длин всех шести палочек равна 2 метрам, получаем, что x1 + y1 ≥ 1 м. Значит, длина какой-то из этих двух палочек не меньше 50 см. Но тогда она не может быть стороной треугольника с периметром 1 м, что противоречит условию.


Ответ

да, можно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Год 2011
Номер 74
класс
1
Класс 10
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .