ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116226
Темы:    [ Арифметическая прогрессия ]
[ Геометрическая прогрессия ]
Сложность: 2
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Последовательность из двух различных чисел продолжили двумя способами: так, чтобы получилась геометрическая прогрессия, и так, чтобы получилась арифметическая прогрессия. При этом третий член геометрической прогрессии совпал с десятым членом арифметической прогрессии. А с каким членом арифметической прогрессии совпал четвёртый член геометрической прогрессии?


Решение

Пусть a — первое из двух чисел исходной последовательности, d — разность арифметической прогрессии, а q — знаменатель геометрической прогрессии. Тогда по условию задачи a + d = aq, a + 9d = aq2. Следовательно, a(q – 1) = d и a(q – 1)(q + 1) = a(q2 – 1) = 9d = 9a(q – 1). Поскольку q≠1, отсюда получаем q = 8 и aq3 = a + a(q3 – 1) = a + a(q – 1)(q2 + q + 1) = a + 73d. Таким образом, четвёртый член геометрической прогрессии совпал с 74-м членом арифметической прогрессии.


Ответ

с 74-м членом арифметической прогрессии.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Год 2011
Номер 74
класс
Класс 11
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .