ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116227
Тема:    [ Многочлены (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Сравните между собой наименьшие положительные корни многочленов  x2011 + 2011x – 1  и  x2011 – 2011x + 1.


Решение 1

Пусть  x1 > 0  – корень уравнения  x2011 + 2011x – 1,  а  x2 > 0  – корень уравнения  x2011 – 2011x + 1.  Тогда     Складывая эти равенства почленно, получаем     Значит,     Таким образом,  x1 < x2.


Решение 2

Функция x2011 принимает только положительные, а функция  2011x – 1  – только отрицательные значения на интервале  (0, 1/2011).  Значит, уравнение  x2011 = 2011x – 1  и многочлен  x2011 – 2011x + 1  не имеют корней на этом интервале. Многочлен  x2011 + 2011x – 1  принимает в концах отрезка
[0, 1/2011]  значения разных знаков и, следовательно, имеет корень на интервале (0, 1/2011).


Ответ

У первого многочлена наименьший положительный корень меньше.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Год 2011
Номер 74
класс
Класс 11
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .