ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116263
Темы:    [ Четность и нечетность ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

По кругу написаны все целые числа от 1 по 2010 в таком порядке, что при движении по часовой стрелке числа поочередно то возрастают, то убывают.
Докажите, что разность каких-то двух чисел, стоящих рядом, чётна.


Решение

Пусть все разности рядом стоящих чисел нечётны. Тогда чётные и нечётные числа по кругу чередуются. Но это значит, что либо каждое чётное число больше обоих соседних нечётных, либо каждое чётное число меньше обоих соседних нечётных. В первом случае не найдётся места для числа 2, а во втором – для числа 2010. Противоречие.

Замечания

3 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2010/2011
Номер 32
вариант
Вариант весенний тур, базовый вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .