ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116340
Темы:    [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
[ Признаки подобия ]
[ Центр масс ]
[ Аффинная геометрия (прочее) ]
Сложность: 3-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На стороне BC и на продолжении стороны AB за вершину B треугольника ABC расположены точки M и K соответственно, причём  BM : MC = 4 : 5  и  BK : AB = 1 : 5.  Прямая KM пересекает сторону AC в точке N. Найдите отношение  CN : AN.


Подсказка

Проведите через вершину C прямую, параллельную стороне AB, и рассмотрите две пары подобных треугольников.


Решение 1

  Через точку C проведём прямую, параллельную AB. Пусть прямая KM пересекает её в точке T.
  Положим  BK = a,  AB = 5a.  Из подобия треугольников CMT и BMK (коэффициент 5/4) находим, что  CT = 5/4 BK = 5/4 a,  а из подобия треугольников CNT и ANKCN : NA = CT : AK = 5/4 a : (5a + a) = 5:24.


Решение 2

  Через точку M проведём прямую, параллельную AC, до пересечения с прямой AB в точке L. Тогда  BL : LA = CM : MC = 4:5.  Положим
BL = b,  тогда   = 9/4 b,  а  AN = AK/KL b = (6 : (4/9·5 + 1))b = 54/29 b.  Отсюда  CN : AN = (9/454/29) : 54/29 = (29 – 6·4) : 6·4 = 5 : 24.


Решение 3

  Разместим в точках A, K, C массы 5, 25, 24 соответственно. Тогда центр масс точек A и K находится в точке B, а центр масс точек A, K, C – в точке M. Следовательно, центр масс точек A и C находится на пересечении прямых KM и AC, то есть в точке N. Отсюда CN : NA = 5 : 24.


Ответ

5 : 24.

Замечания

Разумеется, ответ сразу можно получить из теоремы Менелая.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 2918

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .