ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116350
Темы:    [ Теоремы Чевы и Менелая ]
[ Признаки подобия ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
[ Центр масс ]
Сложность: 3-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Точки M и N расположены соответственно на сторонах AB и AC треугольника ABC, причём  AM : MB = 1 : 2,  AN : NC = 3 : 2.  Прямая MN пересекает продолжение стороны BC в точке F. Найдите  CF : BC.


Также доступны документы в формате TeX

Подсказка

Проведите через вершину A прямую, параллельную стороне BC, и рассмотрите две пары подобных треугольников.


Также доступны документы в формате TeX

Решение 1

  Через точку A проведём прямую, параллельную BC. Пусть T – точка её пересечения с прямой MN. Обозначим  CF = a.
  Из подобия треугольников ANT и CNF (коэффициент 1,5) находим, что  AT = 1,5CF = 1,5a,  а из подобия треугольников AMT и BMF (коэффициент 0,5) –  BF = 2AT = 3a.  Тогда  BC = BF – CF = 2a.  Следовательно,  CF : BC = a : 2a.


Решение 2

  Разместим в точках A, B, F массы 2, 1, m так, чтобы центр масс точек A, B, F оказался в точке N. Тогда центр масс точек A и B находится в точке M, а центр масс точек B и F находится на пересечении прямых BF и AN, то есть в точке C. Значит,  1 + m = 3,  то есть  m = 2.  Отсюда  FC : BC = 1:2.
Также доступны документы в формате TeX

Ответ

1 : 2.


Также доступны документы в формате TeX

Замечания

Разумеется, ответ сразу можно получить из теоремы Менелая.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 2928

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .