ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116360
Темы:    [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
[ Признаки и свойства касательной ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
[ Теорема синусов ]
Сложность: 3-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Найдите радиусы вписанной и вневписанных окружностей треугольника со сторонами 3, 4, 5.
Также доступны документы в формате TeX

Решение

Рассмотрим треугольник ABC, в котором AB = 5, BC = 3, AC = 4. Поскольку AB2 = 52 = 42 + 32 = AC2 + BC2, этот треугольник – прямоугольный, причём AB – его гипотенуза. Если A1, B1 и C1 – точки касания окружности, вписанной в треугольник, со сторонами BC, AC и AB соответственно, а r – радиус вписанной окружности с центром O, то четырёхугольник OA1CB1 квадрат со стороной r, поэтому

AC1 = AB1 = ACCB1 = ACr, BC1 = BA1 = BCCA1 = BCr.

Тогда AB = AC1 + BC1 = (ACr) + (BCr) = AC + BC – 2r.

Следовательно,

Пусть – полупериметр треугольника ABC, ra – радиус окружности с центром Oa, касающейся катета BC в точке A2, а продолжений гипотенузы AB и катета AC – в точках M и N соответственно. Тогда 2p = AC + BC + AB = AC + (CA2 + C2B) + AB = AC + (CN + BM) + AB = (AC + CN) + (AB + BM) = AN + AM.

А т.к. AM = AN, то AN = p. Четырёхугольник OaNCA2 – квадрат со стороной ra, поэтому ra = OaA2 = CN = ANAC = pAC = 6 – 4 = 2.

Если rb и rc – радиусы вневписанных окружностей треугольника ABC, касающихся катета AC и гипотенузы AB, то аналогично найдём, что rb = pBC = 6 – 3 = 3, rc = p = 6.


Также доступны документы в формате TeX

Ответ

1; 2; 3; 6.
Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 2938

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .