ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116366
Темы:    [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
Сложность: 3-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC известно, что AB = 10, BC = 24, а медиана BD равна 13. Окружности, вписанные в треугольники ABD и BDC касаются медианы BD в точках M и N соответственно. Найдите MN.


Решение

Докажем сначала следующее утверждение. Если в треугольник XYZ вписана окружность, а x – расстояние от вершины X до касания окружности со стороной XY и YZ = a, то x = pa, где p – полупериметр треугольника.

Обозначим точки касания вписанной окружности со сторонами XY, YZ и XZ через Z1, X1 и Y1 соответственно. Пусть XZ = b и XY = c. Тогда

Следовательно,

Что и требовалось доказать.

Вернёмся к нашей задаче. Окружность, вписанная в треугольник ABD, касается его стороны BD в точке M. По доказанному

Аналогично,

При этом AD = CD. Следовательно,


Ответ

7.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 2944

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .