ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116375
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. ]
[ Свойства биссектрис, конкуррентность ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
Сложность: 3-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На наибольшей стороне AB треугольника ABC взяли такие точки P и Q, что  AQ = AC,  BP = BC.
Докажите, что центр описанной окружности треугольника PQC совпадает с центром вписанной окружности треугольника ABC.


Решение

Треугольник BPC – равнобедренный, поэтому биссектриса угла B совпадает с серединным перпендикуляром к стороне CP. Аналогично биссектриса угла A совпадает с серединным перпендикуляром к отрезку CQ. Но центр вписанной окружности треугольника ABC лежит на пересечении упомянутых биссектрис, а центр описанной окружности треугольника PQC – на пересечении упомянутых серединных перпендикуляров.

Замечания

Баллы: Турнир городов – 3, Регата – 6.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2011/2012
Номер 33
вариант
Вариант осенний тур, базовый вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 1
олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2017/18
класс
Класс 9
задача
Номер 9.1.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .