ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116382
Темы:    [ Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения. ]
[ Теорема косинусов ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В выпуклом четырёхугольнике ABCD стороны равны соответственно:   AB = 10,  BC = 14,  CD = 11,  AD = 5.   Найдите угол между его диагоналями.


Решение 1

  Нетрудно убедиться, что   AB² + CD² = AD² + BC².   Пусть O – точка пересечения диагоналей четырёхугольника, а угол AOB равен α. Выразив входящие в равенство квадраты сторон по теореме косинусов для треугольников AOB, BOC, COD и DOA, после сокращений получим
– cos α (OA·OB + OC·OD) = cos α (OA·OD + OC·OB),   что возможно только при  cos α = 0.


Решение 2

  Рассмотрим последовательные стороны четырёхугольника как векторы a, b, c, d  (a + b + c + d = 0).  При этом   a² + c² = b² + d².
  Заметим, что  d + a  – одна диагональ четырёхугольника, а  a + b  – другая.
  Имеем   2(d + a, a + b) = (a + dbc, a + b) = (ab, a + b) + (dc, a + b) = (ab, a + b) + (cd, c + d) = a² – b² + c² – d² = 0.   Это и значит, что диагонали перпендикулярны.


Ответ

90°.

Замечания

1. Точно так же доказывается более общий факт:
  диагонали выпуклого четырёхугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда суммы квадратов противоположных сторон равны.

2. Баллы: 4.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2011/2012
Номер 33
вариант
Вариант осенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .