|
|
 |
Условие
В наборе несколько гирь, все веса которых различны. Известно, что если положить любую пару гирь на левую чашу, можно весы уравновесить, положив на правую чашу одну или несколько гирь из остальных. Найдите наименьшее возможное число гирь в наборе.
Решение
Чтобы уравновесить пару самых тяжелых гирь, надо не менее трёх гирь, значит, всего гирь не менее пяти. Допустим, гирь ровно пять, и их веса
P1 < P2 < P3 < P4 < P5. Как P3 + P5, так и P4 + P5 можно уравновесить только всеми остальными. Значит, веса этих пар равны половине общего веса гирь и равны между собой, что противоречит условию.
Убедимся, что шесть гирь с целыми весами от 3 до 8 подходят. Рассмотрим пару (m, n), где m < n. Если n – m > 2, то столько же весит пара
(m + 1, n – 1). Если m > 3 и n < 8, то столько же весит пара (m – 1, n + 1). Рассмотренные случаи не охватывают четыре пары: (3, 4), (3, 5), (6, 8) и (7, 8). Они уравновешиваются соответственно наборами (7), (8), (3, 4, 7), (4, 5, 6).
Ответ
6 гирь.
Замечания
5 баллов.
