|
|
 |
Условие
Петя отметил на плоскости несколько (больше двух) точек, все расстояния между которыми различны. Пару отмеченных точек (A, B) назовём необычной, если A – самая дальняя от B отмеченная точка, а B – ближайшая к A отмеченная точка (не считая самой точки A). Какое наибольшее возможное количество необычных пар могло получиться у Пети?
Решение
Пусть (A, B) – необычная пара I, а K – ещё одна отмеченная точка. Тогда BK < AB < AK. Это значит, в частности, что пары (A, K) и (K, A) обычные (K и A не ближайшие друг к другу). Пары (K, B) и (B, K) тоже обычные (K и B не самые дальние друг от друга). Допустим, что еще какие-то две точки C, D образуют необычную пару II. Выпишем цепочку неравенств, помечая каждое номером необычной пары, из-за которой оно выполнено:
AB >I BC >II CD >II AD >I AB. Противоречие.
Пример с одной необычной парой (A, B) – вершины треугольника ABC, где AC > AB > BC.
Ответ
Одна пара.
Замечания
баллы: 4
