ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116398
Темы:    [ Правильные многоугольники ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Брагин В.

Вершины правильного 45-угольника раскрашены в три цвета, причём вершин каждого цвета поровну. Докажите, что можно выбрать по три вершины каждого цвета так, чтобы три треугольника, образованные выбранными одноцветными вершинами, были равны.


Решение

Пусть цвета – синий, красный, жёлтый. Нарисуем чёрный 45-угольник на прозрачной пленке и наложим его на исходный. Назовём это положением С. Обведём на пленке кружками 15 синих вершин. Поворачивая пленку каждый раз на угол  360° : 45 = 8°,  совмещаем вершины на пленке с вершинами исходного треугольника и считаем количество кружков, содержащих красные вершины. В среднем за полный оборот это количество равно
15·15 : 45 = 5.  Так как в положении С таких кружков 0, то в некотором положении К "красных" кружков не менее шести. Оставим на пленке только эти шесть кружков. Аналогично найдём положение пленки Ж, где в эти 6 кружков попало более двух (то есть не менее трёх) жёлтых вершин. Сотрём все кружки, кроме этих трёх. Они и дадут нам три равных треугольника: в положении Ж – жёлтый, в положении К – красный, в положении С – синий.

Замечания

баллы: 7

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2011/2012
Номер 33
вариант
Вариант осенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 7

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .