|
|
 |
Условие
На окружности расставлены 999 чисел, каждое равно 1 или –1, причём не все числа одинаковые. Возьмём все произведения по 10 подряд стоящих чисел и сложим их.
а) Какая наименьшая сумма может получиться?
б) А какая наибольшая?
Решение
а) Оценка. Если два соседних произведения равны, то первое число левого равно последнему числу правого, то есть равны числа через 10 мест. Так как 10 и 999 взаимно просты, то шагая по 10, мы обойдём все числа. Но среди чисел есть разные, значит и среди произведений – тоже. Итак, есть хотя бы одно произведение, равное 1.
Пример, где ровно одно произведение равно 1, а остальные 998 равны –1: если номер числа оканчивается на 9, ставим –1, иначе 1. Тогда единственное положительное произведение – с 999-го места по 9-е.
б) Пример: две минус единицы рядом, остальные числа – единицы. Отрицательными будут только те произведения, куда одна минус единица входит, а другая – нет; а таких ровно два.
Оценка. Произведение всех 999 произведений равно 10-й степени произведения всех чисел, то есть 1. Значит, среди произведений чётное число минус единиц, то есть не меньше двух.
Ответ
а) – 997; б) 995.
Замечания
баллы: 3 + 3
