Задача 116434

Темы:    [ Площадь треугольника (через высоту и основание) ] [ Площадь параллелограмма ]

Сложность: 2+ Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Фольклор

Внутри параллелограмма ABCD выбрана произвольная точка Р и проведены отрезки РА, РВ, РС и PD. Площади трёх из образовавшихся треугольников равны 1, 2 и 3 (в каком-то порядке). Какие значения может принимать площадь четвёртого треугольника?

Решение

  Введём обозначения так, как показано на рисунке. Заметим, что   S₁ + S₃ = S₂ + S₄.   Действительно,  S₁ + S₃ = ½ ah₁ = ½ S_ABCD = ½ bh₂ = S₂ + S₄.
  Поэтому площадь четвёртого треугольника равна  1 + 3 – 2 = 2  или  2 + 3 – 1 = 4,  или  1 + 2 – 3 = 0.  Последний случай невозможен.
  Для квадрата нетрудно построить примеры, где площади образовавшихся треугольников относятся как  1 : 2 : 3 : 2  или  1 : 2 : 4 : 3.

Ответ

2 или 4.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2011/12
Класс
	1
Класс	11
задача
Номер	11.2.2