ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116439
Темы:    [ Системы алгебраических нелинейных уравнений ]
[ Неравенство Коши ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Фольклор

Найдите все неотрицательные решения системы уравнений:
    x³ = 2y² – z,
    y³ = 2z² – x,
    z³ = 2x² – y.


Решение 1

  Сложив все уравнения системы, получим  x(x – 1)² + y(y – 1)² + z(z – 1)² = 0.  Отсюда  x(x – 1)² = y(y – 1)² = z(z – 1)² = 0,  то есть значение каждого из неизвестных может быть равно 1 или 0 (в частности, все решения целые). Теперь из системы видно, что x, y и z – одной чётности. Значит, решений не больше двух: (0, 0, 0) и (1, 1, 1). Подстановкой проверяем, что оба подходят.


Решение 2

  Перемножив неравенства     получим  x²y²z² ≥ x²y²z².  Следовательно, во всех исходных неравенствах должно выполняться равенство, то есть  x³ = z,  y³ = xz³ = y.  Отсюда  z27 = z,  значит,  z = 0 или 1.


Ответ

(0, 0, 0),  (1, 1, 1).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2011/12
Класс
1
Класс 11
задача
Номер 11.4.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .