Задача 116505

Темы:    [ Описанные четырехугольники ] [ Признаки подобия ] [ Биссектриса угла ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Условие

Через центр вписанной окружности четырёхугольника ABCD проведена прямая. Она пересекает сторону AB в точке X и сторону CD в точке Y; известно, что  ∠AXY = ∠DYX.  Докажите, что  AX : BX = CY : DY.

Решение

Пусть O – центр вписанной окружности четырёхугольника ABCD. Тогда AO и BO – биссектрисы углов BAD и CDA. Положим
∠XAO = ∠DAO = α,  ∠YDO = ∠ADO = β,  ∠AXO =∠DYO = φ.  Тогда  2α + 2β + 2φ = 360°  как сумма углов четырёхугольника AXYD. Поэтому
α + β + φ = 180°,  значит,  ∠AOX = 180° – α – φ = β.  Следовательно, треугольники AXO и OYD подобны по двум углам, откуда  AX : OY = OX : DY,  то есть  AX·DY = OX·OY.  Аналогично  BX·CY = OX·OY.  Следовательно,  AX·DY = BX·CY,  откуда  AX : BX = CY : DY.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6319