ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116513
Темы:    [ Признаки перпендикулярности ]
[ Теорема о трех перпендикулярах ]
[ Перпендикулярность прямой и плоскости (прочее) ]
[ Объем тетраэдра и пирамиды ]
Сложность: 3-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Все грани треугольной пирамиды – прямоугольные треугольники. Наибольшее ребро равно a, а противоположное ребро равно b. Двугранный угол при наибольшем ребре равен α. Найдите объём пирамиды.


Также доступны документы в формате TeX

Решение

Пусть D – вершина данной треугольной пирамиды ABCD. Предположим, что у прямоугольных треугольников ADB, BDC и CDA прямые углы при вершинах A, B и C. Тогда AD < BD < CD < AD, что невозможно. Значит, прямые углы двух боковых граней прилежат к одной из вершин основания. Пусть это вершина A, т.е. ∠BAD = ∠CAD = 90°. Положим для определённости, что ∠BCD = 90°.

Ребро DA – перпендикуляр к плоскости ABC. По теореме о трёх перпендикулярах ∠ACD = 90°, значит, BD > AB > BC, BD > AB > AC, BD > AD, т.е. BD наибольшее ребро пирамиды, BD = a, а AC = b.

Пусть CK и CL – высоты прямоугольных треугольников ABC и BCD. Тогда CKAB и CKBD, поэтому CK – перпендикуляр к плоскости ABD, а KLBD по теореме о трёх перпендикулярах, значит, CLK – линейный угол двугранного ребра при ребре BD. По условию задачи ∠CLK = α.

Обозначим BC = x. Из прямоугольных треугольников ABC и BCD находим, что

а т.к. CK = CLsinα, то

откуда

Следовательно,


Также доступны документы в формате TeX

Ответ


Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 7330

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .