ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116514
Темы:    [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]
[ Касающиеся сферы ]
[ Неопределено ]
Сложность: 2+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Три сферы попарно касаются внешним образом, а также касаются некоторой плоскости в вершинах прямоугольного треугольника с катетом 1 и противолежащим углом 30°. Найдите радиусы сфер.


Также доступны документы в формате TeX

Подсказка

Если окружности радиусов r и R касаются внешним образом, то отрезок их общей внешней касательной, заключённый между точками касания равен .


Также доступны документы в формате TeX

Решение

Пусть ABC – прямоугольный треугольник, в котором ∠C = 90°, ∠A = 90°, BC = 1. Тогда AB = 2, . Обозначим через x, y и z радиусы сфер с центрами O1, O2 и O3, касающихся плоскости треугольника ABC в точках A, B и C соответственно и попарно касающихся между собой внешним образом (рис.1).

Прямые O2B и O3C перпендикулярны плоскости треугольника ABC, поэтому O2B || O3C. Проведём через эти прямые плоскость (рис.2). Получим касающиеся окружности радиусов y и z с центрами O2, O3 и прямую, касающуюся этих окружностей в точках B и C. Поскольку BC = 1, имеем уравнение . Аналогично и . После очевидных преобразований получим систему уравнений

Перемножив почленно два первых уравнения и разделив результат на третье, найдём, что . Аналогично находим y и z.


Также доступны документы в формате TeX

Ответ

ответ
Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 7502

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .