ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116515
Темы:    [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
[ Площадь треугольника (прочее) ]
[ Перпендикулярность прямой и плоскости (прочее) ]
Сложность: 2+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В пространстве заданы три луча: DA, DB и DC, имеющие общее начало D, причём ∠ADB = ∠ADC = ∠BDC = 90°. Сфера пересекает луч DA в точках A1 и A2, луч DB – в точках B1 и B2, луч DC – в точках C1 и C2. Найдите площадь треугольника A2B2C2, если площади треугольников DA1B1, DA1C1, DB1C1 и DA2B2 равны соответственно , 10, 6 и 40.


Также доступны документы в формате TeX

Решение

Докажем сначала следующее утверждение: если рёбра треугольной пирамиды попарно перпендикулярны, то квадрат площади основания равен сумме квадратов площадей боковых граней.

Действительно, пусть OX, OY и OZ – попарно перпендикулярные боковые рёбра треугольной пирамиды OXYZ с вершиной O (рис.1), причём , , . Обозначим OX = a, OY = b, OZ = c. Тогда

перемножив почленно два первых уравнения системы и разделив результат на третье, получим, что .

Пусть . Докажем, что T2 = S2 + P2 + Q2. Для этого опустим перпендикуляр OF из вершины O на ребро YZ. Ребро OX перпендикулярно плоскости грани OYZ, так как OXOY и OXOZ по условию задачи. Тогда прямая YZ перпендикулярна плоскости OXF, значит XFYZ, т.е. XF – высота треугольника XYZ. Из прямоугольных треугольников YOZ и XOF находим, что

Значит,

Следовательно, T2 = S2 + P2 + Q2. Что и требовалось доказать.

Перейдём к нашей задаче (рис.2). Проведём сечение сферы плоскостью DA1B1. Получим окружность и две секущие DA1A2 и DB1B2, проведённые к ней из точки D, лежащей вне окружности. Тогда DA1· DA2 = DB1·DB2. Аналогично докажем, что DA1·DA2 = DC1·DC2. Кроме того,

значит,

откуда

Аналогично,

Следовательно,


Также доступны документы в формате TeX

Ответ


Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 8686

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .