ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116534
Темы:    [ Тождественные преобразования ]
[ Разложение на множители ]
Сложность: 2+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Фольклор

Известно, что x, y и z – целые числа и  xy + yz + zx = 1.  Докажите, что число  (1 + x²)(1 + y²)(1 + z²)  является квадратом натурального числа.


Решение

  1 + x² = xy + yz + zx + x² = (x + y)(x + z).
  Аналогично  1 + y² = (x + y)(y + z)  и  1 + z² = (x + z)(y + z).
  Таким образом,  (1 + x²)(1 + y²)(1 + z²) = ((x + y)(y + z)(x + z))².  Кроме того,  (1 + x²)(1 + y²)(1 + z²) ≥ 1.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2011/12
класс
Класс 8
задача
Номер 8.3.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .