ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116536
Темы:    [ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Разложение на множители ]
[ Периодичность и непериодичность ]
[ Перебор случаев ]
Сложность: 3-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Фольклор

Сколько существует таких натуральных n, не превосходящих 2012, что сумма  1n + 2n + 3n + 4n  оканчивается на 0?


Решение 1

  Разберём три случая.
  1) n нечётно. Тогда число  1n + 4n  нечётно и делится на  1 + 4 = 5.  Следовательно, оно оканчивается на 5. Аналогично на 5 оканчивается число БикЮ 2n + 3n.  Значит, данная сумма оканчивается на 0.
  2)  n = 4k + 2.  Тогда число  1n + 2n  нечётно и делится на  1² + 2² = 5.  Следовательно, оно оканчивается на 5. Число  3n + 4n  также нечётно и делится на  3² + 4² = 25.  Снова наша сумма оканчивается на 0.
  3)  n = 4k.  Последняя цифра чисел  24 и 44  равна 6. Значит, и последняя цифра чисел  2n = (24)k  и  4n = (44)k  равна 6. Аналогично последняя цифра числа 3n равна 1. Следовательно, наша сумма оканчивается на 4.
  Среди 2012 последовательных чисел чисел, кратных 4, ровно четверть, то есть 503. А "хороших" чисел  2012 – 503 = 1509.


Решение 2

  Составим таблицу значений последних цифр у каждого слагаемого и у суммы для нескольких начальных значений n.

  При  n = 5  последние цифры у всех слагаемых такие же, как и при  n = 1,  значит общий период повторения последних цифр равен 4. При этом, для каждых четырёх последовательных значений n ровно в трёх случаях сумма оканчивается на 0.
  Так как  2012 : 4 = 503,  то искомое количество равно  503·3 = 1509.


Ответ

1509.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2011/12
класс
Класс 8
задача
Номер 8.3.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .