ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116540
Темы:    [ Системы алгебраических нелинейных уравнений ]
[ Неопределено ]
Сложность: 2+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Про три положительных числа известно, что если выбрать одно из них и прибавить к нему сумму квадратов двух других, то получится одна и та же сумма, независимо от выбранного числа. Верно ли, что все числа равны?


Решение

Вот контрпример:  ⅓, ⅓, ⅔.


Ответ

Неверно.

Замечания

Идеология. Из условия получаем систему:  a² – a = b² – b = c² – c.  Первое равенство приводится к виду  (a – b)(a + b – 1) = 0.  Значит, оно выполнено не только при  a = b,  но и при  b = 1 – a;  аналогичные утверждения верны для остальных пар чисел. Итак, кроме троек из равных чисел, подходят все тройки вида  {a, a, 1 – a}  и только они.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2010-2011
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 9
Задача
Номер 9.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .