ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116556
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Прямые, лучи, отрезки и углы (прочее) ]
[ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ]
Сложность: 3-
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На стороне AC остроугольного треугольника ABC выбраны точки M и K так, что ∠ABM = ∠CBK.
Докажите, что центры описанных окружностей треугольников ABM, ABK, CBM и CBK лежат на одной окружности.


Решение

  Без ограничения общности можно считать, что точка M лежит между A и K. Пусть O1, O2, O3 и O4 – центры описанных окружностей треугольников ABM, ABK, CBM и CBK соответственно. Прямые O1O3 и O1O2 являются соответственно серединными перпендикулярами к отрезкам BM и AB. Значит, углы O2O1O3 и ABM равны как углы с взаимно перпендикулярными сторонами.

  Аналогично  ∠O2O4O3 = ∠CBK,  а значит,  ∠O2O4O3 = ∠O2O1O3.  Это и означает, что точки O1, O2, O3, O4 лежат на одной окружности.

Замечания

Точка пересечения прямых O1O2 и O3O4 – центр O описанной окружности треугольника ABC, причём точки O2 и O3 лежат соответственно на отрезках OO1 и OO4. Это позволяет обосновать расположение точек на рисунке.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2010-2011
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 10
Задача
Номер 10.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .